第三節(jié) 直線回歸方程

一、直線回歸方程的概念
所謂回歸，是說當一種觀象(y)受另一種現(xiàn)象(x)的影響，致使(y)隨著現(xiàn)象(x)的變動而有規(guī)律的變動時，這種協(xié)同變異的關(guān)系在統(tǒng)計學(xué)中稱之為回歸。回歸分析是當研究兩種事物間的相互關(guān)系時，描述其中一種事物依存另一種事物變動的規(guī)律。其表達式為：

式中y為估計值；α為常數(shù)，也稱為截距，即當x等于零時在回歸直線軸上的交點；b為回歸系數(shù)，它是回歸直線的斜率，其意義是每當x變動一個單位，則y隨之變動b個單位。
直線回歸分析的目的是求出一條能確切反映本資料的回歸變動規(guī)律的直線方程式，以通過此式由x值估計y值。一般要求回歸方程能滿足下述條件：即從回歸方程推算出的y值與實際y值之差的平方和［∑(y-y)］2是最小值。確立直線回歸方程式的關(guān)鍵是求出回歸系數(shù)b和截距α，它們的計算公式為：
二、求直線回歸方程的基本方法
（一）小樣本的計算方法
當原始數(shù)據(jù)不多（n<40）時，可直接按實測數(shù)據(jù)X、Y，求∑X、∑Χ2、∑Y、∑Y2及∑XY。代入下列公式(396)、(397) 、(398) 、(399)，求α、b和直線回歸方程。

式中Ixx=∑（x-x）（y-y）(離均差積和)
Ixx=∑（x-X）2（離均差平方和）

示例393某研究人員觀察胃腸營養(yǎng)膠囊的營養(yǎng)價值，用大白鼠做試驗，對每只大白鼠在觀察期間胃腸營養(yǎng)膠囊的用量（g）和體重增加量（g）匯入表（394）中，根據(jù)原始資料試作直線回歸分析。

【解題步驟】
1先列出直線回歸分析計算表，求基礎(chǔ)數(shù)值（表395）：

2根據(jù)表395中的基礎(chǔ)數(shù)值計算x、y的均數(shù)（x、y）、離均差平方和（Ixx、Iyy）、離均差積和（Ixy）。

3根據(jù)公式(396)、(397) 、(398)，求b、α和回歸方程。

4按求得的直線回歸方程，在X值范圍內(nèi)任意取兩點（x1y1），（x22），相連即得回歸直線。
（二）大樣本的求法
當原始資料比較多時，接小樣本處理公式計算其工作量相當?shù)拇?，可按直線相關(guān)系數(shù)的簡捷方法先繪制雙變量頻數(shù)表，然后再根據(jù)表中的基礎(chǔ)數(shù)值分別計算x、y的均數(shù)（x、y）、離均差平方和（Ixx、Iyy）、離均差積和（Ixy）?，F(xiàn)以示例392為例，試用簡捷方法計算回歸方程。

示例392樣本數(shù)n=40，組距ix=02，組距iy=10，(∑fxdx)=43，∑fxd2x=139，∑fYdY=-3，∑fyd2y=79，∑fdXdY=39。
【解題步驟】
1計算均數(shù)：本例假定均數(shù)（取組中值，x0為“～20”組的組中值）。

2離均差的平方和：

3離均差積和：

4按公式（396），求回歸系數(shù)b：

直線回歸方程：=2932＋2276x
答：其直線回歸方程為=2932＋2276x。
三、回歸系數(shù)的顯著性檢驗
回歸系數(shù)顯著性檢驗的意義與相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗的意義相同，其回歸系數(shù)(b)也是因抽樣研究得來的，即使嚴格按隨機抽樣，回歸系數(shù)也存在抽樣誤差的問題，也應(yīng)進行顯著性檢驗。當y變量服從正態(tài)分布時，回歸系數(shù)的顯著性檢驗可以用t檢驗，也可以用方差分析方法求得。本節(jié)僅介紹t檢驗方法。
用t檢驗方法檢驗回歸系數(shù)（b）是否顯著，先根據(jù)以下公式分別計算sy、x和回歸系數(shù)的標準誤（sb），然后計算t值。其公式分別為 (3910)、(3911) 、(3912)：

當求得t值后，根據(jù)自由度（n-2）查t值表，主要目的是與P=005相當?shù)呐R界值［t（n′）005］進行比較。如果求得的t值< t（n′）005，則P>005，回歸系數(shù)無顯著意義；相反，如果求得的t值> t（n′）005，則P<005，回歸系數(shù)有顯著意義；如果求得的t值> t（n′）001，則P<001，回歸系數(shù)有非常顯著意義。
現(xiàn)以例393為例，檢驗其回歸系數(shù)有無顯著意義。
因為已知Iyy=42341，  Ixx=759064，  Ixy=168432，n=10， b=02219，將以上數(shù)據(jù)分別代入公式（3910）、（3911）、（3912），得：

查t界值表（附表4）：n′=8（10-2）時，t（8）001=3355。本例t=77587，p<001， 回歸系數(shù)有非常顯著意義。
四、相關(guān)和回歸分析應(yīng)注意的事項
1 明確相關(guān)與回歸分析的實質(zhì)內(nèi)容
相關(guān)系數(shù)說明兩變量間關(guān)系的密切程度，回歸方程說明兩變量間的數(shù)量關(guān)系，兩者說明的問題不同，之間有相關(guān)關(guān)系。因此，如果回歸系數(shù)顯著性檢驗有顯著性的話，相關(guān)系數(shù)也一定是顯著的，反之亦然。
2正確理解相關(guān)分析的作用
相關(guān)分析只是以相關(guān)系數(shù)來描述兩個變量間相互關(guān)系的密切程度和方向，并不能闡明兩事物或現(xiàn)象間存在聯(lián)系的本質(zhì)。而且相關(guān)并不一定就是因果關(guān)系，切不可單純依靠相關(guān)系數(shù)或回歸系數(shù)的顯著性證明因果關(guān)系之存在。要證明兩事物間的因果關(guān)系，必須憑藉專業(yè)知識從理論上加以闡明。但是，當事物間的因果關(guān)系未被認識前，相關(guān)分析可為理論研究提供線索。
3不要把毫無關(guān)聯(lián)的兩個事物或現(xiàn)象用來作相關(guān)或回歸分析，否則是沒有意義的。另外，相關(guān)分析只說明相關(guān)。
4不要把相關(guān)顯著性大小誤解為相關(guān)程度的大小。相關(guān)系數(shù)是說明兩事物間密切程度的， r的絕對值越接近于1，相關(guān)越密切；越接近0，則相關(guān)程度越松散。相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗是說明由抽樣誤差引起這樣大的r值的可能性有多大。P>005說明由抽樣誤差引起這樣大的r值的可能性大于5%，因此而不排除它抽自于無相關(guān)的總體。只有P≤005， r才有意義。
5在回歸分析中，由x推算y或由y推算x ，其回歸方程不同，不能混用。推算公式如下：

6相關(guān)與回歸的區(qū)別和聯(lián)系
相關(guān)表示兩變量間的相互關(guān)系是雙方向的。而回歸則表示y隨x而變化，這種關(guān)系是單方向的。醫(yī)學(xué)資料中的有些資料用相關(guān)表示較適宜，比如兄弟與姐妹間的身長關(guān)系、人的身長與前臂長之間的關(guān)系等資料。但有些資料用相關(guān)和回歸都不適宜，此時須視研究需要而定。就一般計算程序來說，是先求出相關(guān)系數(shù)r并對其進行假設(shè)檢驗，如果r顯著并有進行回歸分析之必要，再建立回歸方程。
7適合作相關(guān)和回歸分析的資料通常有兩種資料
（1）一個變量x是選定的，另一個變量y是從正態(tài)分布的總體中隨機抽取的，宜作回歸分析。
（2）兩變量x、y（或x1、x2）都是從正態(tài)分布的總體中隨機抽取的，即是正態(tài)雙變量中的隨機樣本。這時，若需要由一個變量推算另一個變量可作回歸分析；若只需說明兩變量間的相互關(guān)系可作相關(guān)分析。如果變量（一個或兩個）呈明顯偏態(tài)時，須經(jīng)過適當?shù)淖兞看鷵Q（如對數(shù)代換等），使資料接受正態(tài)分布后再做相關(guān)與回歸分析，或者采用秩相關(guān)法。